Печать

Внутренний контакт упругих цилиндрических тел

В подшипниках скольжения имеет место контакт упругого цилиндра и поверхности круглого цилиндрического отверстия в упругой среде, заполняющей некоторую конечную область пространства, при малой разности радиусов цилиндра и цилиндрического отверстия. Такой контакт цилиндрических тел называется внутренним. Область контакта в данном случае имеет размеры, соизмеримые с радиусом цилиндра и при расчете деформаций тел необходимо учитывать их реальную геометрию.

Расчет упругих перемещений поверхностей контактирующих тел при их внутреннем контакте представляет собой самостоятельную задачу, которая в общем случае может быть решена, например, методом конечных элементов.

В работе [1] приведено общее аналитическое решение плоской задачи теории упругости для кругового кольца. Данное решение может быть использовано для приближенных расчетов подшипников скольжения. Используем приведенные в работе[1] результаты для анализа решения УГД задачи при внутреннем контакте цилиндрических тел в наиболее простом случае контакта жесткого цилиндра и поверхности круглого цилиндрического отверстия в бесконечной упругой среде (рис. 7.1). Данная задача является приближенной моделью подшипника скольжения со стальным валом и толстым вкладышем из материала с малым модулем упругости.

Рис. 1. Расчетная схема подшипника скольжения

Пусть линия центров (рис. 7.1) отверстия и вала образует с линией действия нагрузки угол , который находится в процессе решения задачи. Через обозначим угол, определяющий положение какого-либо поперечного сечения смазочного слоя и отсчитываемый от линии действия нагрузки против часовой стрелки. Пусть направление вращения вала совпадает с направлением возрастания угла . Рассмотрим случай подшипника с частичным углом охвата шипа вкладышем. В этом случае координата начала смазочного слоя определяется положением входного кармана, из которого смазка подается под небольшим давлением в зазор. Пусть линия действия нагрузки делит угол охвата шипа вкладышем пополам. Тогда координата начала смазочного слоя равна . Координата точки обрыва смазочного слоя неизвестна и определяется в процессе решения задачи. При этом должно выполняться условие .

Если бы подшипник не деформировался, толщина смазочного слоя равнялась бы

где , и - радиусы вала и цилиндрического отверстия в среде соответственно, - эксцентриситет. Из результатов, приведенных в работе [1], следует, что при учете деформаций подшипника толщина смазочного слоя равна

,

где - коэффициент Пуассона и модуль упругости подшипника.

Введем безразмерные переменные по формулам

, , ,

где - плотность и вязкость смазочного материала соответственно при атмосферном давлении. Так как давления, развиваемые в подшипниках скольжения невелики, то для учета зависимости вязкости смазки от давления можно воспользоваться моделью Баруса (1.18). В безразмерных переменных уравнения задачи и граничные условия запишутся в виде (черточки вверху опускаем)

,

, ,

,

где - относительный эксцентриситет, ,

, , , ,

- безразмерная нагрузка на вал, равная

,

- размерная нагрузка на вал, отнесенная к единице длины вала.

Входными параметрами в приведенной системе уравнений являются следующие параметры: . После задания значений этих параметров и решения системы уравнений, можно определить значение безразмерной нагрузки .

При заданных постоянных значениях параметров решение будет зависеть от одного входного параметра – параметра , т.е. , , и т.д. Первая функция определяет зависимость от , т. е. . Подставив эту зависимость во вторую и третью функции, получим зависимости , .

Ниже приведены результаты расчетов при значениях входных параметров , , , , .

На рис. 7.2 представлена зависимость безразмерной нагрузки от безразмерной минимальной толщины смазочного слоя. Приведенные результаты показывают, что при нулевой толщине смазочного слоя нагрузка принимает конечное значение. Это значение может быть найдено путем решения контактной задачи при сухом контакте тел. А именно, решение задачи о сухом контакте тел при угле охвата дает именно это значение нагрузки. Таким образом, при увеличении нагрузки толщина смазочного слоя уменьшается и при определенной нагрузке режим, когда тела разделены смазочным слоем, переходит в режим, при котором поверхности соприкасаются по области контакта размером .

Рис. 7.2. Зависимость безразмерной нагрузки от безразмерной минимальной толщины смазочного слоя.

 

На рис. 7.3-7.6 приведены зависимости и при различных значениях нагрузки . Эти зависимости демонстрируют, как изменяются функция распределения давления и толщина смазочного слоя с ростом нагрузки до ее предельного значения, при котором осуществляется непосредственный контакт поверхностей по области.

Когда нагрузка на подшипник мала (рис. 7.3), распределение давления в смазочном слое близко к распределению, которое имеет место при не учете деформаций подшипника. А именно, максимум давления смещен вправо от линии действия нагрузки, при удалении от точки максимума давление быстро понижается. При этом толщина смазочного слоя быстро возрастает при удалении от точки ее минимума.

Отметим, что при малых нагрузках выходная точка обрыва смазочного слоя смещается влево с ростом нагрузки.

С ростом нагрузки функция постепенно принимает вид, который она имеет в УГД контакте. А именно, появляется область контакта, в которой толщина смазочного слоя меняется слабо (рис. 7.4, кривая 5). Кроме того, на выходе из области контакта у графика функции появляется углубление. Функция также стремится принять вид, который она имеет в УГД контакте. Максимум давления смещается влево с ростом нагрузки . Выходная граничная точка области смазочного слоя смещается вправо. График функции становится более широким при высоких значениях . Например, на уровне , где - максимальное давление в смазочном слое, график 5 на верхней половине рис. 7.3 имеет протяженность порядка 0.7 по координате , в то время как график 5 на верхней половине рис. 7.4 на том же уровне имеет протяженность порядка 1.0.

 

Рис. 7.3. Функции и при различных значениях нагрузки

 

Рис. 7.4. Функции и при различных значениях нагрузки

 

При дальнейшем увеличении нагрузки область, в которой толщина смазочного слоя изменяется слабо, расширяется. При этом относительное изменение толщины в этой области уменьшается. В итоге появляется участок, на котором толщина смазочного слоя остается практически постоянной (кривые 3, 4, 5 на нижней половине рис. 7.5). За этим участком постоянной толщина смазочного слоя следует быстрое падение толщины, затем рост и обрыв смазочного слоя.

При нагрузке на подшипник, близкой к предельной, при которой осуществляется прямой контакт поверхностей по области , впадина на графике на выходе из зазора постепенно исчезает. В результате толщина становится близкой к постоянной во всей области . При этом функция близка к симметричной относительно оси ординат функции. Она также близка к функции распределения давления при сухом контакте тел и угле контакта (рис. 7.6).

 

Рис. 7.5. Функции и при различных значениях нагрузки

 

Рис. 7.6. Функции и при различных значениях нагрузки

На рис. 7.7 представлена зависимость от минимальной толщины смазочного слоя . Если бы деформации цилиндра отсутствовали, то значение равнялось бы минимальной толщине смазочного слоя. В этом случае кривая на рис. 7.7 представляла бы собой прямую линию, исходящую из начала системы координат и являющейся биссектрисой первого квадранта.

С учетом деформаций цилиндра все изменилось принципиально. При больших значениях значение близко к значению . С уменьшением значение убывает быстрее, чем , так как прирост обусловлен не только уменьшением , но и деформацией вала. При значении значение равно нулю. Это означает, что при таком значении эксцентриситет равен радиальному зазору. При эксцентриситет больше радиального зазора. При таких значениях минимальной толщины смазочного слоя положительный зазор образуется только за счет деформаций. При предельной нагрузке, когда поверхности тел соприкасаются по области , значение эксцентриситета равно.

Рис. 7.7. Зависимость параметра от минимальной толщины смазочного слоя

 

Литература

1. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения. – М.: Наука, 1990.