Трибология

Расчет подшипника скольжения конечной длины

В общем случае для определения упругих деформаций контактирующих тел необходимо решать пространственные задачи теории упругости для вала и опоры. В случае подшипника с неметаллическим вкладышем, модуль упругости которого мал по сравнению с модулем упругости вала и опоры, основной вклад в изменение формы зазора при выполнении условий (2.3) вносят деформации вкладыша. В этом случае можно ограничиться решением задачи теории упругости для неметаллического вкладыша. Приведем здесь решение задачи для подшипника с неметаллическим вкладышем, модуль упругости которого на два порядка ниже модуля упругости стали. В монографии Д.С. Коднира [1] приведены результаты экспериментальных исследований таких подшипников.

При выполнении условия (2.5) для определения деформаций вкладыша можно использовать уравнение (2.6). Однако при этом возникает сложность с формулировкой граничных условий для уравнения (2.6). Эти условия, однако, определяют деформации вкладыша в окрестности его торцов. Точное определение этих деформаций имеет важное практическое значение, так как они определяют нагрузку, при которой происходит касание поверхностей вала и вкладыша в торцевых сечениях. В связи с этим приведем решение задачи, в котором деформации вкладыша определяются методом конечных элементов. Изложим кратко суть этого метода.

Основные соотношения и уравнения теории упругости для однородной и изотропной среды в цилиндрической системе координат приведены в [2]. Пусть , , - компоненты вектора перемещения точки упругой среды с цилиндрическими координатами . Компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями в цилиндрической системе координат следующим образом

, ,

, ,

Компоненты тензора напряжений определяются следующим образом

, ,

, ,

Здесь , ,

- коэффициент Пуассона и модуль упругости среды соответственно.

Введем безразмерные переменные

,

, , , , ,

, , , ,

, , ,

Здесь - внутренний радиус вкладыша, - радиальный зазор подшипника,

, - радиус вала.

В безразмерных переменных соотношения между перемещениями и деформациями, а также между деформациями и напряжениями можно записать в виде

, (8.1)

где

,

, ,

Область пространства, занимаемая вкладышем, в безразмерных переменных имеет вид

, , ,

Здесь - толщина вкладыша. Разбиваем эту область на элементы, представляющие собой тетраэдры. В каждом тетраэдре вводим три функции трех переменных, которые определяют безразмерные упругие перемещения , ,

. В наиболее простом случае линейных функций, запишем их следующим образом

Пусть - вектор, компоненты которого равны соответствующим безразмерным перемещениям - й

вершины тетраэдра .

Значения коэффициентов подберем такими, чтобы вектор

в -й вершине тетраэдра был равен вектору . В результате получаем следующее выражение для вектора в рассматриваемом тетраэдре

, (8.2)

где функции связаны с координатами вершин тетраэдра следующим образом

Пусть

Тогда для функций получаем выражение

Подставив выражение (8.2) для вектора перемещений в уравнение (8.1), получим с учетом (8.3) выражение для деформаций среды в рассматриваемом тетраэдре

, где (8.3)

Выражение (8.3) определяет деформации тетраэдра через перемещения его вершин. Так как перемещения принимались линейно зависимыми от координат, то деформации получились постоянными во всем объеме тетраэдра.

Подставляя выражения (8.3) для компонент тензора деформаций в правую часть второго равенства (8.1), получаем выражения для напряжений в рассматриваемом тетраэдре

(8.4)

Выражение (8.4) определяет напряжения в рассматриваемом тетраэдре через перемещения его вершин. Так как перемещения принимались линейно зависимыми от координат, то напряжения получились постоянными во всем объеме тетраэдра.

Рассматриваем случай, когда внешние силы не действуют в рассматриваемом элементе объема среды. Тогда напряженное состояние рассматриваемого элемента определяется только усилиями взаимодействия со смежными элементами, которые будем считать внешними. Заменим реальные усилия, действующие вдоль границ стыковки рассматриваемого элемента со смежными элементами, на статически эквивалентные узловые силы, т.е. силы, действие которых вызывает внутри элемента напряженно-деформированное состояние, аналогичное тому, какое есть в нем при фактическом нагружении. Эти силы определяются деформированным состоянием (8.3) и напряженным состоянием (8.4) и оказываются равными [3]

(8.5)

где интегрирование производится по объему тетраэдра в безразмерных переменных,

, - размерные компоненты вектора силы, которая должна быть приложена к узлу тетраэдра.

Из равенства (8.5) следует следующая интерпретация квадратной матрицы третьего порядка, определяемой по формуле

(8.6)

Если все вершины тетраэдра, кроме вершины с номером , жестко зафиксировать, чтобы они не перемещались, а вершину с номером переместить на вектор , то узловые силы в - й вершине в безразмерном виде будет определяться по формуле

(8.7)

Матрица называется матрицей жесткости рассматриваемого конечного элемента. Вычислив такие матрицы для всех конечных элементов можно получить матрицу жесткости всей системы конечных элементов, на которую заменяется исходная область решения задачи. Для этого надо в каждом узле сетки произвести суммирование узловых сил от всех конечных элементов, одна из вершин которых расположена в данном узле.

Матрица жесткости всей системы позволяет определить узловые силы в каком-либо произвольном узле сетки по заданным векторам перемещений узлов сетки. Обратная матрица позволяет определить вектор перемещений какого-либо произвольного узла сетки, если заданы вектора сил, приложенных к каждому узлу сетки. Вычисление матрицы представляет собой основную задачу метода конечных элементов.

Если внешние объемные силы отсутствуют, то узловые силы во внутренних узлах сетки равны нулю. На поверхности вкладыша, которая соприкасается с внутренней поверхностью опоры, узловые силы не равны нулю. Они неизвестны, но известны вектора перемещений узлов сетки на этой поверхности, которые равны нулю. Это условие является одним из граничных условий задачи. Другими граничными условиями является равенство нулю узловых сил в узлах, расположенных на боковых поверхностях вкладыша и на части его внутренней поверхности, на которую нет давления со стороны смазочного слоя.

В узлах сетки, расположенных на той части внутренней поверхности вкладыша, на которую оказывает давление смазочный слой, узловые силы отличны от нуля. Они равны силам, которые статически эквивалентны распределенной по поверхности нагрузке. Если по поверхности (размерной) какого-либо конечного элемента распределена поверхностная сила (размерная) , то статически ей эквивалентная узловая сила, действующая на - ю вершину элемента, будет определяться в рассматриваемом приближении

по формуле []

где - размерная функция, по отношению к которой является безразмерной. В безразмерных переменных данное соотношение запишется следующим образом

где ,

Таким образом, вычисление вектора перемещений в каждом узле сетки при заданном распределении давления по поверхности тела, сводится к следующей процедуре:

1. Вычисляем матрицу жесткости всей системы конечных элементов, на которые разбивается рассматриваемая область.

2. Вычисляем узловые силы , приложенные к узлам, расположенным на поверхности рассматриваемой области и эквивалентные распределенному по поверхности области внешнему давлению.

3. Решаем систему уравнений

(8.8)

где - вектор, компоненты которого равны перемещениям всех узлов сетки, - вектор, компоненты которого равны суммарным узловым силам, приложенным ко всем узлам сетки. В рассматриваемом случае эти силы равны нулю для внутренних узлов сетки и равны узловым силам для узлов сетки, расположенных на поверхности рассматриваемой области.

Введем безразмерную переменную , где - координата, направленная вдоль оси подшипника. Безразмерное давление определим следующим образом:

где - длина подшипника. В безразмерных переменных основные уравнения задачи имеют вид

,

, ,

,

, ,

где зависимость между функциями и в узлах сетки определяется системой уравнений (8.8), , - уравнение кривой, на которой происходит разрушение смазочного слоя.

Функция - неизвестна и определяется в процессе решения задачи.

, , - размерная нагрузка на подшипник.

Ниже приведены результаты расчетов подшипника скольжения, полученные путем решения приведенной выше системы уравнений. Расчеты проводились при следующих значениях параметров: , , , , , , , , толщина вкладыша .

Рис. 8.1

На рис. 8.1 приведены графики толщины смазочного слоя в сечении , при различных нагрузках. При нагрузке распределение толщины смазочного слоя хорошо согласуется с экспериментальными результатами, приведенными в []. При нагрузке расчетное значение толщины смазочного слоя выше экспериментального. Это связано, по-видимому, с тем, что в приведенной математической модели не учитывается разогрев смазочного слоя при его движении в зазоре. В эксперименте поддерживалась постоянной температура смазки на входе в зазор. В расчетах вязкость смазки принималась постоянной во всем зазоре и равной вязкости смазки на входе в зазор. В эксперименте же температура смазки возрастает по мере ее продвижения в зазоре от входа к выходу из него, что ведет к уменьшению толщины смазочного слоя.

Приведенные графики свидетельствуют о том, что с ростом нагрузки появляется область зазора, в которой толщина смазочного слоя изменяется незначительно. Эта область расширяется при дальнейшем росте нагрузки.

Рис. 8.2

На рис. 8.2 приведены функции распределения давления в сечении . Видно, что с ростом нагрузки точка максимума давления смещается влево, к точке входа смазки в зазор и график давления становится более симметричным относительно линии действия нагрузки и более похожим на распределение давления при сухом контакте тел.

Рис. 8.3

На рис. 8.3 приведены зависимости толщины смазочного слоя от координаты , направленной вдоль оси подшипника, при значении угловой координаты . При таком значении толщина смазочного слоя в торцевых сечениях принимает значения, близкие к минимальным значениям.

На рис. 8.3 видно, что при данном значении толщина смазочного слоя принимает минимальные значения в торцевых сечениях. При этом при малых нагрузках она слабо изменяется вдоль оси подшипника. Однако, при высоких нагрузках минимальное значение толщины смазочного слоя в торцевых сечениях может быть в несколько раз меньше минимального значения толщины смазочного слоя в центральном сечении (сечении ). Так, например, при нагрузке минимальное значение толщины смазочного слоя в центральном сечении близко к 10 мкм, в то время как минимальное значение толщины смазочного слоя в торцевых сечениях менее 1 мкм. При дальнейшем увеличении нагрузки в торцевых сечениях происходит контакт поверхностей, в то время как в центральном сечении толщина смазочного слоя принимает высокое значение. При дальнейшем увеличении нагрузки области непосредственного контакта поверхностей расширяются, а область, в которой поверхности разделены смазочным слоем, сокращается. Однако, моделирование таких режимов работы, представляет большую сложность и здесь не рассматривается.

Отметим, что при других значениях угла толщина смазочного слоя как функция координаты ведет себя более сложным образом. Она имеет два локальных минимума, расположенных на некотором расстоянии от торцов подшипника, и один локальный максимум, расположенный в точке .

Литература

1. Коднир Д.С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин.-М.: Машиностроение, 1976.

2. Александров А. Я., Соловьев Ю. Пространственные задачи теории упругости.-М.: Наука, 1978.

3. С. Ф. Клованич. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики.-Запорожье, 2009.